不定积分的方法总结

　　不定积分的办法总结

　　不定积分在高等数学中占有非常重要的位置，不管是在教师资格考试仍是教师招聘考试中都有命题，别的不定积分的学习为今后学习定积分核算打下了坚实的根底，所以关于这方面的内容，下面是小编精心搜集的不定积分的办法总结，期望能对你有所协助。

　　不定积分的办法总结

　　教育进程：

　　一、原函数

　　１．引例1：已知物体运动方程s s(t)，则其速度是物体位移s对时刻t的导数.反过来,已知物体的速度v是时刻t的函数v v(t),求物体的运动方程s s(t),使它的导数s (t)等于v v(t),这便是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产值P是时刻t的函数P P(t),则该产品产值的改变率是产值P对时刻t的导数P (t).反之,若已知某产值的改变率是时刻t的函数P (t),求该产品产值函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.

　　2.【界说5.1】（原函数）设f(x)是界说在区间I上的函数．若存在可导函数F(x)，对 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.

　　例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的.一个原函数；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.

　　再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数；32

　　(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数．

　　留意：没有指明区间时，应默以为区间便是函数界说域．

　　二、不定积分

　　1．原函数性质

　　调查上述比如知：函数的原函数不仅有，且有性质

　　(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).

　　(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x) C都是f(x)的原函数,其间C为恣意常数.

　　(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则

　　F(x) G(x) C.

　　证明： F(x) G(x)

　　F (x) G (x) f(x) f(x) 0.

　　C R, s.t.F(x) G(x) C.

　　(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上整体原函数为F(x) C（其间C为恣意常数）.2.【界说5.2】函数f(x)在I上的整体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作 C R,s.t. f(x)dx.

　　即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有 f(x)dx F(x) C,C为恣意常数.

　　阐明：(1) ---积分号；(2)f(x)---被积函数；

　　(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.

　　3.定论：

　　①连续函数一定有原函数．

　　②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们相互只相差一个常数.

　　发问：初等函数在其界说区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）

　　（一定有原函数，但原函数不一定仍是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2

　　解（1）∵(x) 3x，∴32233xdx x C.

　　x6 x6

　　55（2） C. x, xdx 6 6

　　例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x

　　1 1 x2dx arctanx C.

　　1发问： dx arccotx C对吗？1 x2

　　1例3求 dx.x

　　11解: (lnx) , dx lnx C.xx

　　例4:某产品边沿本钱为100 2x,则总本钱函数为C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.

　　3．导数与不定积分的联系

　　f (x)dx f(x) C.

　　(1)* df(x) f(x) C.(1)

　　df(x)dx f(x). dx

　　(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)

　　可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

　　发问:怎么验证积分的成果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)

　　二、不定积分的几许含义

　　如图： f(x)dx F(x) C，

　　函数f(x)的不定积分表明

　　斜率为f(x)的原函数对应的

　　一簇积分曲线.在同一点x0处

　　积分曲线簇的切线平行.

　　此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数f(x)原函数y F(x)的图形称为f(x)

　　的积分曲线.

　　不定积分的几许含义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x) C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线相互平行.

　　例5设曲线经过点P(1,2),且其就任一点处的切线斜率

　　x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,

　　2所以f(x) x C,

　　由f(1) 2 C 1,

　　所求曲线方程为y x 1.

　　发问：怎么验证积分的成果是正确的？（成果求导有必要是被积函数）

　　小结：

　　１．F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上整体原函数F(x) c为f(x)的不定积分，即2

　　f(x)dx F(x) c

　　２．留意当积分号消失时常数ｃ发生．

　　３．熟记积分公式，留意将被积函数恒等变形后用公式核算不定积分．

　　课跋文：存在的问题不能正确理解几许含义；核算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.

　　【发问】判别下列定论是否正确

　　（不正确阐明理由）

　　(1)3dx 3x C.(2)xdx

　　(3)

　　515x C6 C.

　　(4) 1

　　x2 1x C.(5) 1

　　x lnx C.

　　(6) 5xdx 5xln5 C.

　　(7) 2exdx ex C.

　　(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1

　　1 x2dx arctanx c arccotx C.

　　(10) sec2xdx tanx C.

　　(11) csc2xdx cotx C.

　　(12) arcsinx C arccosx C.

　　(13) secxtanxdx secx C.

　　(12) cscxcotxdx cscx C.